Raccoglimento totale a fattore comune e Raccoglimento parziale

Ciao a tutti oggi mi occuperò della scomposizione di un polinomio in fattori.

Scomporre un polinomio in fattori significa trasformare il polinomio, cioè una somma algebrica di più monomi, nel prodotto di altri polinomi, di grado inferiore a quello del polinomio considerato.

La scomposizione di un polinomio in fattori è utile per semplificare le frazioni algebriche, sommare frazioni algebriche e per risolvere equazioni anche di grado superiore al primo.

Raccoglimento totale a fattore comune

La più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori consiste nel mettere in evidenza i fattori comuni a tutti i termini del polinomio. Questo tipo di scomposizione è detta raccoglimento totale e si applica quando tutti i termini del polinomio hanno in comune un monomio fattore.

Il raccoglimento totale si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione indicando con A,B,C tre generici monomi è noto che si ha:

A(B+C) = AB+AC 

o, il che è lo stesso per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza,

AB+AC = A(B+C)

Quest'ultima uguaglianza dice che il polinomio (AB+AC) è stato scomposto nel prodotto di due fattori: il monomio A e il polinomio B+C allora significa che si è messo in evidenza il fattore A comune ai termini del polinomio (AB+BC).

Vi propongo un esempio per mettere in pratica ciò spiegato:

 3(a-b)+6x(a-b)+15xy(a-b)

Raccogliamo il 3 perché il 6 e il 15 sono loro multipli e raccogliamo anche (a-b) perché è fattore comune a tutti e i tre termini. Con questa semplice operazione abbiamo risolto l'esercizio.

3(a-b)(1+2x+5xy)

Raccoglimento parziale

Talvolta può accadere che vi siano fattori comuni in gruppi di termini, dopo avere raccolto in tali gruppi i rispettivi fattori comuni, può succedere che si possa poi effettuare un raccoglimento a fattor comune totale. In questi casi si parla di raccoglimento parziale.

Ad esempio, se il polinomio è del tipo:

ax+bx+ay+by

si può mettere in evidenza nei primi due termini il fattore comune x e negli ultimi due termini il fattore comune y:

(a+b)x+(a+b)y

mettendo in evidenza il fattore comune (a+b) avremo                                      

(a+b)(x+y)

Vi propongo un esempio di questa tipologia:

ab-b+a-a²

Raccogliamo nei primi 2 termini il fattore comune "la lettera b" negli ultimi 2 termini il termine comune "la lettera a"

b(a-1)+a(1-a)

moltiplicando per -1 il secondo termine tra parentesi otteniamo

b(a-1)+a(a-1)

mettendo in evidenza il fattore comune (a-1) risolviamo l'esercizio.

(b+a)(a-1)

Spero che la lezione vi sia piaciuta.

Vi auguro una buona giornata.

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Equazione di primo grado (Parte 3)

Ciao a tutti oggi vi illustrerò l'ultima parte teorica dell' equazioni di primo grado intere ad una incognita.
I principi che consentono di trasformare un'equazione in un'altra ad essa equivalente sono detti principi di equivalenza delle equazioni.

Primo principio di equivalenza. Sommando o sottraendo a entrambi i membri di un'equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica intera (monomio o polinomio), si ottiene un'equazione equivalente all'equazione data.
Secondo principio di equivalenza. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente all'equazione data.

Noti i principi di equivalenza espongo alcune regole che sono conseguenze di questi principi:

1) Se entrambi i membri di un'equazione sono polinomi e uno stesso monomio compare in entrambi i membri, questo può essere soppresso.
Es. x-4 = x-3
Al 1° e al 2° membro compare la stessa quantità ovvero la x quindi un metodo veloce di calcolo è semplificare l'equazione sopprimendo la x.
-4=-3
-1=0 (impossibile)

2) Se entrambi i membri di un'equazione sono polinomi, è possibile trasportare un monomio da un membro all'altro, purché si cambi il segno.

Es. 2x-4 = x-3
Portiamo al 1° membro i termini in x e al 2° membro i termini noti cambiando il segno perché ciò equivale a sottrarre entrambi i membri.
2x-x = 4-3
x=1

3) Se entrambi i membri di un'equazione sono polinomi i cui coefficienti sono numeri interi tutti multipli di uno stesso numero k diverso da zero, è possibile semplificare l'equazione dividendo per tutti i coefficienti per k.
3x-6 = 9
Il 6 e il 9 sono multipli di 3 quindi semplifico tutti i termini dividendo per 3
x-2 = 3
x=5

4) Se in una equazione intera compaiono frazioni o termini con coefficienti frazionari, è possibile, dopo aver espresso entrambi i membri come frazioni aventi lo stesso denominatore, sopprimere i denominatori.
x/2 - 3/2 = 5/2
Ho lo stesso comune denominatore quindi moltiplico per 2 tutti i termini
x-3 = 5
x=8

5) Si possono cambiare di segno entrambi i membri di un'equazione.
-2x-5 = -7
Moltiplico per -1 entrambi i membri
2x+5=7
2x = 2
x=1

Con questo post ho terminato la teoria delle equazioni di primo grado. A presto!
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Equazioni di primo grado (Parte 2)

Ciao a tutti oggi riprenderò il concetto di equazione di primo grado intera ad una incognita e vi darò ulteriori informazioni in modo che sappiate svolgere tutti gli esercizi di questa tipologia.

Risolvere un'equazione in un'incognita significa determinare l'insieme delle sue soluzioni. Tale insieme che indico con S è un insieme di numeri reali. 
In generale si possono presentare i seguenti casi di soluzione:
1) DETERMINATA : le soluzioni dell'equazione sono in un numero finito ovvero quando, una volta risolta, ottengo che x è uguale ad un numero. 
Es. 2x-3=0 x=3/2.
Come ho scritto nel precedente post "Equazioni di primo grado", l'equazione di primo grado ha la forma ax+b=0 quindi x=-b/a.
2) INDETERMINATA : le soluzioni dell'equazione sono in un numero infinito ovvero quando, una volta risolta, si presenta al primo membro e al secondo membro dell'equazione il termine zero, quindi 0=0.
Es. 5x - 1 = 5x - 1 
Porto i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo membro 5x-5x = 1-1, semplificando ottengo 0=0  e questo porta ad avere una soluzione indeterminata.
3) IMPOSSIBILE : l'equazione non ha soluzioni ovvero quando, una volta risolta, si presenta nella forma 0 = numero.
Es. 6x-10 = 3+6x
Porto i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo membro 6x-6x = 10+3, semplificando ottengo 0 = 13 e questa soluzione è falsa quindi impossibile.

Adesso vi mostrerò 3 tipi di esercizi riguardanti queste tipologie:
a) 3-2(4x-3) = x-3(2x+5)          
    Eseguo i prodotti tra i numeri e le quantità tra parentesi
    3-8x+6 = x-6x-15
 Porto al 1° membro termini in x e al 2° membro i termini noti ricordando di cambiare il segno
    -8x-x+6x = -3-6-15
Semplifico i termini simili
    -3x = -24
     3x = 24  
     x = 8 (La soluzione è determinata)
     
b) 2(x-4) = 3x-8-x 
    2x-8 = 3x-8-x
 Porto al 1° membro termini in x e al 2° membro i termini noti ricordando di cambiare il segno
    2x-3x+x = 8-8
    0 = 0 (La soluzione è indeterminata)
    
c) 5(2+x) = 3(1+x)-2x-4(2-x)     
    Eseguo i prodotti tra i numeri e le quantità tra parentesi
    10+5x = 3+3x-2x-8+4x
 Porto al 1° membro termini in x e al 2° membro i termini noti ricordando di cambiare il segno   
    5x-3x+2x-4x = 3-8-10             
 Semplifico i termini
    0 = -15 (La soluzione è impossibile)

Spero che vi sia piaciuta la lezione e se avete dubbi su alcuni esercizi di questa tipologia inviate una mail all'indirizzo thebundleTV@gmail.com

TheBundleTV.

Equazioni di primo grado

Ciao a tutti oggi mi occuperò delle equazioni di primo grado e vi darò alcuni consigli su come affrontare gli esercizi nel modo più veloce possibile.

Cos'è un'equazione?
Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche contenenti una o più lettere.

In generale, le lettere che compaiano in un'equazione si dicono incognite. La lettera più usata per indicare l'incognita è la x ma si possono usare anche altre lettere (di solito le ultime dell'alfabeto). In un'equazione le espressioni che si trovano a sinistra e a destra del segno uguale (=) si chiamano rispettivamente primo e secondo membro dell'equazione. Sostituendo un numero al posto dell'incognita in un'equazione, questa si trasforma in un'eguaglianza tra due espressioni numeriche, eguaglianza che può risultare vera o falsa.

Grado di un'equazione
Le equazioni di primo grado sono dette equazioni lineari esse sono quelle equazioni che si possono scrivere nella forma: ax + b = 0. L'incognita x compare con un grado di potenza 1.

Risoluzione di un'equazione di primo grado:
1) si libera, nel caso ci fossero, l'equazione dai denominatori
2) si eseguono gli eventuali prodotti indicati.
Tali operazioni non sono necessariamente da seguire nell'ordine indicato: a volte può essere più conveniente prima svolgere i prodotti e poi liberare l'equazione dai denominatori.
3) si spostano tutti i monomi contenenti l'incognita (x) al 1° membro e tutti i termini noti al 2° membro 
4) si effettuano le operazioni di somma o sottrazione tra i termini simili.
Dopo aver eseguito tali operazioni, se l'equazione risulta di 1° grado, al primo membro figurerà solo un monomio di primo grado contenente l'incognita; al secondo membro figurerà una costante. Se x è l'incognita, l'equazione risulterà nella forma ax = b
5) se il coefficiente a dell'incognita è diverso da zero, si dividono entrambi i membri dell'equazione per tale coefficiente a. 
Si ricava così la soluzione x = b/a.

Esercizio
Adesso, tramite esercizio, metto in pratica tutto ciò di cui ho scritto sopra:

                                                 2(x-3) - 4(1-2x) = 3(x-1)

Non avendo a che fare con un'equazione di primo grado fratta possiamo direttamente passare al secondo punto svolgendo i prodotti tra i termini tra parentesi.

                                                      2x-6-4+8x = 3x-3

Come detto nel punto 3 portiamo al primo membro i termini in x e al secondo membro i termini noti. (Ricorda di cambiare il segno del termine che passa nel membro opposto!)

                                                     2x+8x-3x = 6+4-3

Sommiamo e sottriamo i termini i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo membro

                                                7x = 7

A questo punto, per determinare la soluzione, dividiamo il termine noto 7 per il termine contenente la x ovvero 7; a questo punto si trova banalmente che la soluzione è:

                                                                    x=1

Spero che abbiate capito la lezione. 
Un saluto 
TheBundleTV.