Raccoglimento totale a fattore comune e Raccoglimento parziale

Ciao a tutti oggi mi occuperò della scomposizione di un polinomio in fattori.

Scomporre un polinomio in fattori significa trasformare il polinomio, cioè una somma algebrica di più monomi, nel prodotto di altri polinomi, di grado inferiore a quello del polinomio considerato.

La scomposizione di un polinomio in fattori è utile per semplificare le frazioni algebriche, sommare frazioni algebriche e per risolvere equazioni anche di grado superiore al primo.

Raccoglimento totale a fattore comune

La più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori consiste nel mettere in evidenza i fattori comuni a tutti i termini del polinomio. Questo tipo di scomposizione è detta raccoglimento totale e si applica quando tutti i termini del polinomio hanno in comune un monomio fattore.

Il raccoglimento totale si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione indicando con A,B,C tre generici monomi è noto che si ha:

A(B+C) = AB+AC 

o, il che è lo stesso per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza,

AB+AC = A(B+C)

Quest'ultima uguaglianza dice che il polinomio (AB+AC) è stato scomposto nel prodotto di due fattori: il monomio A e il polinomio B+C allora significa che si è messo in evidenza il fattore A comune ai termini del polinomio (AB+BC).

Vi propongo un esempio per mettere in pratica ciò spiegato:

 3(a-b)+6x(a-b)+15xy(a-b)

Raccogliamo il 3 perché il 6 e il 15 sono loro multipli e raccogliamo anche (a-b) perché è fattore comune a tutti e i tre termini. Con questa semplice operazione abbiamo risolto l'esercizio.

3(a-b)(1+2x+5xy)

Raccoglimento parziale

Talvolta può accadere che vi siano fattori comuni in gruppi di termini, dopo avere raccolto in tali gruppi i rispettivi fattori comuni, può succedere che si possa poi effettuare un raccoglimento a fattor comune totale. In questi casi si parla di raccoglimento parziale.

Ad esempio, se il polinomio è del tipo:

ax+bx+ay+by

si può mettere in evidenza nei primi due termini il fattore comune x e negli ultimi due termini il fattore comune y:

(a+b)x+(a+b)y

mettendo in evidenza il fattore comune (a+b) avremo                                      

(a+b)(x+y)

Vi propongo un esempio di questa tipologia:

ab-b+a-a²

Raccogliamo nei primi 2 termini il fattore comune "la lettera b" negli ultimi 2 termini il termine comune "la lettera a"

b(a-1)+a(1-a)

moltiplicando per -1 il secondo termine tra parentesi otteniamo

b(a-1)+a(a-1)

mettendo in evidenza il fattore comune (a-1) risolviamo l'esercizio.

(b+a)(a-1)

Spero che la lezione vi sia piaciuta.

Vi auguro una buona giornata.

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