Conversione da decimale a binario (3 parte)

Eseguiamo altri esercizi utilizzando tutte e due i metodi visti nella lezione "Conversione da decimale a binario".

Esercizio 3 svolto utilizzando il primo metodo.
Trasformare il numero decimale 114 in binario utilizzando 8 bit:

114:2=57              con resto 0    LSB              

57:2=28                con resto 1

28:2=14                con resto 0

14:2=7                  con resto 0        

7:2=3                    con resto 1
3:2=1                    con resto 1         

1:2=0                    con resto 1    MSB

Il numero decimale 114 corrisponde al numero binario:

(114)₁₀= (1110010)₂ 
Il numero decimale 114 è stato scritto con 7 bit per poterlo rappresentare utilizzando 8 bit bisogna aggiungere a sinistra del bit più significativo uno zero (in generale tanti zeri fino a raggiungere il numero di bit desiderato). In questo modo il numero non verrà ad essere modificato perché se aggiungessimo il bit zero all'estrema destra quindi dopo il bit meno significativo il numero diventerebbe:
(11100100) = 228 che è diverso dal numero 114 che stiamo analizzando.
Utilizzando questo semplice accorgimento possiamo affermare che il numero decimale 114 corrisponde al numero binario:

(114)₁₀= (01110010)₂ 

Esercizio 3 svolto utilizzando il secondo metodo.

In questo caso essendo che il numero di bit è pari a 8 noi prendiamo potenze del 2 dallo zero al sette perché il sistema di numerazione decimale comprende 10 cifre tra cui lo zero (0 - 9) ed eseguiamo lo stesso ragionamento fatto negli esercizi precedenti.

La potenza di 2 più vicina a 114 è 64.
114-64=50

La potenza di 2 più vicina a 50 è 32.

50-32=18

La potenza di 2 più vicina a 18 è 16.
18-16=2
La potenza di 2 più vicina a 2 è 2.
2-2=0

Quindi:

114=64+32+16+2

Si scrive 1 se la potenza di 2 è presente, 0 se non viene usata.

27	26	25	24	23	22	21	20
128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	1	1	0	0	1	0

In questo caso il bit più significativo si trova all’estrema sinistra e il bit meno significativo all’estrema destra.

Conversione da decimale a binario (2 parte)

Eseguiamo un altro esercizio utilizzando tutte e due i metodi visti nella lezione "Conversione da decimale a binario".

Esercizio 2 svolto utilizzando il primo metodo.
Trasformare il numero decimale 223 in binario:

223:2=111            con resto 1    LSB              

111:2=55              con resto 1

55:2=27                con resto 1

27:2=13                con resto 1        

13:2=6                  con resto 1
6:2=3                    con resto 0
3:2=1                    con resto 1         

1:2=0                    con resto 1    MSB

Il numero decimale 223 corrisponde al numero binario:

(223)₁₀= (11011111)₂

Esercizio 2 svolto utilizzando il secondo metodo.

La potenza di 2 più vicina a 223 è 128.
223-128=95

La potenza di 2 più vicina a 95 è 64.

95-64=31

La potenza di 2 più vicina a 31 è 16.
31-16=15
La potenza di 2 più vicina a 15 è 8.
15-8=7
La potenza di 2 più vicina a 7 è 4.
7-4=3
La potenza di 2 più vicina a 3 è 2.
3-2=1
La potenza di 2 più vicina a 1 è 1.
1-1=0

Quindi:

223=128+64+16+8++2+1

Si scrive 1 se la potenza di 2 è presente, 0 se non viene usata.

27	26	25	24	23	22	21	20
128	64	32	16	8	4	2	1
1	1	0	1	1	1	1	1

In questo caso il bit più significativo si trova all’estrema sinistra e il bit meno significativo all’estrema destra.

Conversione da decimale a binario (1 parte)

Eseguiamo il seguente esercizio utilizzando tutte e due i metodi visti nella lezione "Conversione da decimale a binario".

Esercizio 1 svolto utilizzando il primo metodo.
Trasformare il numero decimale 140 in binario:

140:2=70              con resto 0    LSB              

70:2=35                con resto 0

35:2=17                con resto 1

17:2=8                  con resto 1        

8:2=4                    con resto 0
4:2=2                    con resto 0
2:2=1                    con resto 0         

1:2=0                    con resto 1    MSB

Vediamo il ragionamento:

• dividiamo il numero dato 140 per 2 (perché 2 rappresenta la base del sistema di numerazione binario, cioè le cifre del sistema sono 0 e 1);
• si scrive il resto (che può essere 0 se il numero diviso è pari oppure 1 se il numero diviso è dispari);
• il quoziente ottenuto dalla prima divisione cioè 70 diventa il nuovo numero da dividere per 2;
• si troverà un nuovo resto;
• si prosegue questa ripetizione fino a quando si ottiene come quoziente il numero 0. 

La sequenza dei resti, letta dall'ultimo al primo, fornisce il numero binario a partire dalla cifra più significativa.

Riportiamo in tabella i valori dei quozienti e dei resti delle divisioni.

QUOZIENTI	RESTI
140
70	0
35	0
17	1
8	1
4	0
2	0
1	0
0	1

Il numero decimale 140 corrisponde al numero binario:

(35)₁₀= (10001100)₂

Il primo resto della divisione è il bit meno significativo (o il bit che si trova all’estrema destra).
Il bit meno significativo (in inglese LSB, least significant bit) è la posizione occupata dal bit nel sistema numerico binario che fornisce il valore dell'unità ed ha il peso minore e che determina se il numero è pario o dispari.

L’ultimo resto è il bit più significativo (o il bit che si trova all’estrema sinistra).
Il bit più significativo (in inglese MSB, most significant bit) è in un numero binario la posizione del bit che ha il valore più grande.

I bit che si trovano all’interno della stringa sono chiamati bit significativi.

Esercizio 1 svolto utilizzando il secondo metodo.

La potenza di 2 più vicina a 140 è 128.

140-128=12

La potenza di 2 più vicina a 12 è 8.

12-8=4

La potenza di 2 più vicina a 4 è 4.
4-4=0.

Quindi:

140=128+8+4

Si scrive 1 se la potenza di 2 è presente, 0 se non viene usata.

27	26	25	24	23	22	21	20
128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	0	0	1	1	0	0

In questo caso il bit più significativo si trova all’estrema sinistra e il bit meno significativo all’estrema destra.

Vediamo il ragionamento:

• Individuiamo la potenza del 2 più vicina (minore o uguale) al numero, in questo caso 128.
• Sottraiamo il numero 140 a questo valore;
• il resto diviene il nuovo numero a cui occorre trovare la potenza del 2 più vicina;
• effettuiamo nuovamente la sottrazione;
• ripetiamo il ragionamento fino ad ottenere come resto il numero 0.

Conversione da decimale a binario

La trasformazione da un numero decimale a un numero binario, viene effettuata secondo due regole:

1)  Si divide il numero dato per 2 e si scrive il resto (che può essere 0 se il numero diviso è pari oppure 1 se il numero diviso è dispari); il quoziente ottenuto viene a sua volta diviso per 2 ottenendo un nuovo resto; si prosegue fino a quando si ottiene come quoziente il numero 0. La sequenza dei resti, letta dall'ultimo al primo, fornisce il numero binario a partire dalla cifra più significativa.

2)   Individuare la potenza di 2 più vicina al numero, sottrarre questo valore al numero, cercare la potenza di 2 più vicina al numero ottenuto e così via fino ad ottenere come resto della sottrazione il valore 0.

Trasformare il numero decimale 35 in binario:

35:2=17                con resto 1                                                                                                             

17:2=8                  con resto 1

8:2=4                    con resto 0

4:2=2                    con resto 0         

2:2=1                    con resto 0         

1:2=0                    con resto 1

QUOZIENTI	RESTI
35
17	1
8	1
4	0
2	0
1	0
0	1

Il numero decimale 35 corrisponde al numero binario:

(35)₁₀= (100011)₂

Il primo resto della divisione è il bit meno significativo (o il bit che si trova all’estrema destra)

L’ultimo resto è il bit più significativo (o il bit che si trova all’estrema sinistra).

I bit che si trovano all’interno sono chiamati bit significativi.

Esempio riferito al secondo metodo:

Trasformare il numero decimale 35 in binario:

La potenza di 2 più vicina a 35 è 32.

35-32=3

La potenza di 2 più vicina a 3 è 2.

3-2=1

La potenza di 2 più vicina a 1 è 1.

Quindi:

35=32+2+1

Si scrive 1 se la potenza di 2 è presente, 0 se non viene usata.

25	24	23	22	21	20
32	16	8	4	2	1
1	0	0	0	1	1

In questo caso il bit più significativo si trova all’estrema sinistra e il bit meno significativo all’estrema destra.

Le memorie: RAM, ROM e cache.

Tra i numerosi componenti contenuti nella scheda madre quello più importante dopo la CPU è senza dubbio la memoria, che viene chiamata memoria centrale. Si tratta di un dispositivo elettronico che contiene un numero limitato di informazioni, oggi mi occuperò della spiegazione dei tre tipi di memoria facente parte dell'unità centrale.

Memoria RAM

L'acronimo RAM deriva da Random Access Memory (memoria ad accesso casuale).

Si tratta di una memoria di lettura/scrittura in cui transitano i dati in ingresso e in uscita dalla CPU. La RAM fa parte della memoria centrale del computer ed è una memoria:

• ad accesso casuale, perchè si può accedere direttamente al dato che interessa;
• volatile, perché il suo funzionamento è subordinato alla presenza della corrente elettrica, e nel caso di spegnimento del computer il suo contenuto si perde;
• di lavoro, perchè, oltre a mantenere i dati in fase di elaborazione, consentendone la modifica, immagazzina le istruzioni dei programmi attivi.

Le dimensioni della memoria RAM sono strettamente legate alle continue evoluzioni tecnologiche, e ogni nuova versione di computer possiede il doppio della memoria della generazione di computer precedente. Questo tipo di memoria si misura in GByte, mentre la cache e la ROM hanno dimensioni molto più ridotte. Supponiamo di scrivere una lettera con il computer: ogni tasto premuto corrisponde a un carattere che viene memorizzato nella RAM e contemporaneamente visualizzato sullo schermo in un lasso di tempo molto breve. Ciò avviene grazie alla velocità di questa memoria, che è maggiore di quella delle memorie di massa e USB.

Memoria ROM

L'acronimo ROM deriva da Read Only Memory (memoria di sola lettura).

La ROM fa parte della memoria centrale del computer ed il suo contenuto non varia nel tempo. Negli elaboratori esiste una particolare ROM (denominata BIOS ROM), predisposta dal costruttore della macchina, al cui intorno si trova il firmware, routine software che avvia un insieme di istruzioni (software di boot) le quali consentono l'esecuzione delle funzioni di base dell'elaboratore, quali:

• l'autodiagnostica (autotest) preposta a controllare, in fase di accensione, la funzionalità di ogni componente hardware;
• il riconoscimento e la gestione delle periferiche di input e di output (BIOS, Basic Input/Output System);
• il caricamento del nucleo del sistema operativo dal disco fisso a una zona della RAM affinché esso abbia il controllo dell'hardware e gestisca i programmi applicativi.

Memoria cache

La cache è una memoria temporanea, di piccole dimensioni, ma veloce, utilizzata per trasferire dati tra dispositivi operanti a velocità di lavoro divese (uno veloce e l'altro lento): tipici esempi sono il trasferimento da memoria di massa (dischi) a memoria RAM e tra memoria RAM e CPU. Il funzionamento di una memoria cache si basa sulla memorizzazione di istruzioni e di dati usati più frequentemente dalla CPU, producendo così accessi più veloci. L'uso della memoria cache è dovuto alla differenza di velocità del disco e della RAM (1000 volte) e quella che intercorre tra le velocità della RAM e della CPU (alcune volte).

Raccoglimento totale a fattore comune e Raccoglimento parziale

Ciao a tutti oggi mi occuperò della scomposizione di un polinomio in fattori.

Scomporre un polinomio in fattori significa trasformare il polinomio, cioè una somma algebrica di più monomi, nel prodotto di altri polinomi, di grado inferiore a quello del polinomio considerato.

La scomposizione di un polinomio in fattori è utile per semplificare le frazioni algebriche, sommare frazioni algebriche e per risolvere equazioni anche di grado superiore al primo.

Raccoglimento totale a fattore comune

La più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori consiste nel mettere in evidenza i fattori comuni a tutti i termini del polinomio. Questo tipo di scomposizione è detta raccoglimento totale e si applica quando tutti i termini del polinomio hanno in comune un monomio fattore.

Il raccoglimento totale si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione indicando con A,B,C tre generici monomi è noto che si ha:

A(B+C) = AB+AC 

o, il che è lo stesso per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza,

AB+AC = A(B+C)

Quest'ultima uguaglianza dice che il polinomio (AB+AC) è stato scomposto nel prodotto di due fattori: il monomio A e il polinomio B+C allora significa che si è messo in evidenza il fattore A comune ai termini del polinomio (AB+BC).

Vi propongo un esempio per mettere in pratica ciò spiegato:

 3(a-b)+6x(a-b)+15xy(a-b)

Raccogliamo il 3 perché il 6 e il 15 sono loro multipli e raccogliamo anche (a-b) perché è fattore comune a tutti e i tre termini. Con questa semplice operazione abbiamo risolto l'esercizio.

3(a-b)(1+2x+5xy)

Raccoglimento parziale

Talvolta può accadere che vi siano fattori comuni in gruppi di termini, dopo avere raccolto in tali gruppi i rispettivi fattori comuni, può succedere che si possa poi effettuare un raccoglimento a fattor comune totale. In questi casi si parla di raccoglimento parziale.

Ad esempio, se il polinomio è del tipo:

ax+bx+ay+by

si può mettere in evidenza nei primi due termini il fattore comune x e negli ultimi due termini il fattore comune y:

(a+b)x+(a+b)y

mettendo in evidenza il fattore comune (a+b) avremo                                      

(a+b)(x+y)

Vi propongo un esempio di questa tipologia:

ab-b+a-a²

Raccogliamo nei primi 2 termini il fattore comune "la lettera b" negli ultimi 2 termini il termine comune "la lettera a"

b(a-1)+a(1-a)

moltiplicando per -1 il secondo termine tra parentesi otteniamo

b(a-1)+a(a-1)

mettendo in evidenza il fattore comune (a-1) risolviamo l'esercizio.

(b+a)(a-1)

Spero che la lezione vi sia piaciuta.

Vi auguro una buona giornata.

TheBundleTV.

Equazione di primo grado (Parte 3)

Ciao a tutti oggi vi illustrerò l'ultima parte teorica dell' equazioni di primo grado intere ad una incognita.
I principi che consentono di trasformare un'equazione in un'altra ad essa equivalente sono detti principi di equivalenza delle equazioni.

Primo principio di equivalenza. Sommando o sottraendo a entrambi i membri di un'equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica intera (monomio o polinomio), si ottiene un'equazione equivalente all'equazione data.
Secondo principio di equivalenza. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente all'equazione data.

Noti i principi di equivalenza espongo alcune regole che sono conseguenze di questi principi:

1) Se entrambi i membri di un'equazione sono polinomi e uno stesso monomio compare in entrambi i membri, questo può essere soppresso.
Es. x-4 = x-3
Al 1° e al 2° membro compare la stessa quantità ovvero la x quindi un metodo veloce di calcolo è semplificare l'equazione sopprimendo la x.
-4=-3
-1=0 (impossibile)

2) Se entrambi i membri di un'equazione sono polinomi, è possibile trasportare un monomio da un membro all'altro, purché si cambi il segno.

Es. 2x-4 = x-3
Portiamo al 1° membro i termini in x e al 2° membro i termini noti cambiando il segno perché ciò equivale a sottrarre entrambi i membri.
2x-x = 4-3
x=1

3) Se entrambi i membri di un'equazione sono polinomi i cui coefficienti sono numeri interi tutti multipli di uno stesso numero k diverso da zero, è possibile semplificare l'equazione dividendo per tutti i coefficienti per k.
3x-6 = 9
Il 6 e il 9 sono multipli di 3 quindi semplifico tutti i termini dividendo per 3
x-2 = 3
x=5

4) Se in una equazione intera compaiono frazioni o termini con coefficienti frazionari, è possibile, dopo aver espresso entrambi i membri come frazioni aventi lo stesso denominatore, sopprimere i denominatori.
x/2 - 3/2 = 5/2
Ho lo stesso comune denominatore quindi moltiplico per 2 tutti i termini
x-3 = 5
x=8

5) Si possono cambiare di segno entrambi i membri di un'equazione.
-2x-5 = -7
Moltiplico per -1 entrambi i membri
2x+5=7
2x = 2
x=1

Con questo post ho terminato la teoria delle equazioni di primo grado. A presto!
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